General Combinatorial Differential Operators

Let D = d/dX . We develop a theory of combinatorial differential operators of the form Ω(X, D) where Ω(X, T ) is a species of structures built on two sorts, X and T , of underlying elements. These operators act on species, F (X), instead of functions. We show how to compose these operators, how to compute their adjoints and their counterparts in the context of underlying symmetric functions and power series. We also analyze how these operators behave when applied to products of species (generalized Leibniz rule) and other combinatorial operations. Special instances of these operators include: combinatorial finite difference operators, Φ(X,∆), corresponding the species Ω(X, T ) = Φ(X, E+(T )), where E+ is the species of nonempty finite sets; pointing operators Λ(XD), which are self-adjoint and correspond to the species Ω(X, T ) = Λ(XT ); and combinatorial Hammond differential operators, Θ(D), corresponding to the species Ω(X, T ) = Θ(T ). We also give a table of all atomic differential operators XD/K where K is a subgroup of Sm × Sk and m + k ≤ 7. Résumé. Soit D = d/dX . Nous développons une théorie d’opérateurs différentiels combinatoires de la forme Ω(X, D) où Ω(X, T ) est une espèce de structures construite sur deux sortes, X et T , d’éléments sous-jacents. Ces opérateurs agissent sur des espèces, F (X), plutôt que sur des fonctions. Nous montrons comment composer ces opérateurs, comment calculer leurs adjoints et les opérateurs qui leur correspondent dans le contexte des fonctions symétriques et des séries génératrices. Nous analysons aussi le comportement de ces opérateurs lorsqu’ils sont appliqués au produit d’espèces (règle de Leibniz) ainsi qu’à d’autres opérateurs combinatoires. Ces opérateurs incluent les opérateurs combinatoires de différences finies, Φ(X,∆), correspondant aux espèces Ω(X, T ) = Φ(X, E+(T )), où E+ est l’espèce des ensembles finis non-vides, les opérateurs de pointage, Λ(XD), qui sont auto-adjoints et les opérateurs différentiels combinatoires de Hammond, Θ(D), qui correspondent aux espèces Ω(X, T ) = Θ(T ). Nous donnons également une table de tous les opérateurs différentiels atomiques XD/K où K est un sous-groupe de Sm × Sk et m + k ≤ 7. With the support of NSERC (Canada). 2 GILBERT LABELLE AND CÉDRIC LAMATHE